Blog

leetcode4两个排序数组的中位数

leetcode4 Median of Two Sorted Arrays

Posted by BY on September 12, 2018

前言

假装开学好好学习

正文

问题来源

本问题来自leetcode上的4题。看的官方解法

问题描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。
请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。
你可以假设 nums1 和 nums2 不同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

分析：

为了解决这个问题，我们需要理解“中位数的作用是什么”。在统计中，中位数被用来：
将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
如果理解了中位数的划分作用，我们就很接近答案了。
首先，让我们在任一位置 i 将 A 划分成两个部分：

          left_A             |        right_A  
    A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]

由于 A 中有 m 个元素， 所以我们有 m+1 种划分的方法（i = 0 ∼ m）。
我们知道：

len(left_A)=i,len(right_A)=m−i.
注意：当 i = 0 时，left_A 为空集， 而当 i = m 时, right_A 为空集。

采用同样的方式，我们在任一位置 j 将 B 划分成两个部分：

      left_B             |        right_B
B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

将 left_A 和 left_B 放入一个集合，并将 right_A 和 right_B 放入另一个集合。 再把这两个新的集合分别命名为 left_part 和 right_part：

      left_part          |        right_part
A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

如果我们可以确认：

len(left_part)=len(right_part)
max(left\_part) ≤ min(right_part)

那么，我们已经将 {A,B} 中的所有元素划分为相同长度的两个部分，且其中一部分中的元素总是大于另一部分中的元素。那么：

median= [max(left_part)+min(right_part)]/2

要确保这两个条件，我们只需要保证：

i + j = m - i + n - j（或：m - i + n - j + 1） 如果 n ≥ m，只需要使  i = 0 ~ m, j = (m + n + 1) /2 - i
B[j-1] ≤ A[i] 以及 A[i−1] ≤ B[j]

ps.1 为了简化分析，我假设 A[i−1], B[j−1], A[i], B[j] 总是存在，哪怕出现 i=0，i=m，j=0，或是 j=n 这样的临界条件。 我将在最后讨论如何处理这些临界值。
ps.2 为什么 n ≥ m？由于0 ≤ i ≤ m 且 j = (m + n + 1) /2 - i，我必须确保 jj 不是负数。如果 n < m，那么 j 将可能是负数，而这会造成错误的答案。
所以，我们需要做的是：

在 [0，m] 中搜索并找到目标对象 i，以使：
B[j−1] ≤ A[i] 且 A[i−1] ≤ B[j],  其中 j =  (m + n + 1) /2 - i 接着，我们可以按照以下步骤来进行二叉树搜索：
  1. 设 imin=0, imax=m, 然后开始在 [imin,imax] 中进行搜索。
  2. 令 i = (imin+imax)/2 ， j = (m + n + 1) /2 - i
  3. 现在我们有 len(left_part)=len(right_part)。 而且我们只会遇到三种情况：
    1. B[j−1]≤A[i] 且 A[i−1]≤B[j]：
      这意味着我们找到了目标对象 ii，所以可以停止搜索。
    2. B[j−1]>A[i]：
      这意味着 A[i] 太小，我们必须调整 i 以使 B[j−1]≤A[i]。
      我们可以增大 i 吗？
      是的，因为当 i 被增大的时候，j 就会被减小。
      因此 B[j−1] 会减小，而 A[i] 会增大，那么 B[j−1] ≤ A[i] 就可能被满足。
      我们可以减小 i 吗？
      不行，因为当 i 被减小的时候，jj 就会被增大。
      因此 B[j−1] 会增大，而 A[i] 会减小，那么 B[j−1] ≤ A[i] 就可能不满足。
      所以我们必须增大 ii。也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [i+1,imax]。 因此，设 imin=i+1，并转到步骤 2。
    3. A[i−1] > B[j]： 这意味着 A[i−1] 太大，我们必须减小 i 以使 A[i−1]≤B[j]。 也就是说，我们必须将搜索范围调整为 [imin,i−1]。
      因此，设 imax=i−1，并转到步骤 2。

当找到目标对象 i 时，中位数为：

max(A[i−1],B[j−1]),  当 m + n 为奇数时  
[max(A[i−1],B[j−1])+min(A[i],B[j])]/2 ,  当 m + n 为偶数时

现在，让我们来考虑这些临界值 i=0,i=m,j=0,j=n，此时 A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 可能不存在。 其实这种情况比你想象的要容易得多。
我们需要做的是确保 max(left_part) ≤ min(right_part)。 因此，如果 i 和 j 不是临界值（这意味着 A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 全部存在）, 那么我们必须同时检查 B[j−1] ≤A[i] 以及 A[i−1] ≤ B[j] 是否成立。 但是如果 A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 中部分不存在，那么我们只需要检查这两个条件中的一个（或不需要检查）。 举个例子，如果 i = 0，那么 A[i−1] 不存在，我们就不需要检查 A[i−1 ]≤ B[j] 是否成立。 所以，我们需要做的是：

在 [0，m] 中搜索并找到目标对象 i，以使  
(j = 0 or i = m or B[j−1]≤A[i]) 或是 (i = 0 or j = n or ,A[i−1]≤B[j]), 其中 j =  (m + n + 1) /2 - i

在循环搜索中，我们只会遇到三种情况：

(j = 0 or i=m or B[j−1]≤A[i]) 或是(i = 0 or j = n or A[i−1]≤B[j])   
这意味着 i 是完美的，我们可以停止搜索。  
j>0 and i < m and B[j−1]>A[i] 这意味着 i 太小，我们必须增大它。  
i>0 and j < n and A[i−1]>B[j] 这意味着 i 太大，我们必须减小它。

官方Java代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        if (m > n) { // to ensure m<=n
            int[] temp = A; A = B; B = temp;
            int tmp = m; m = n; n = tmp;
        }
        int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;
        while (iMin <= iMax) {
            int i = (iMin + iMax) / 2;
            int j = halfLen - i;
            if (i < iMax && B[j-1] > A[i]){
                iMin = i + 1; // i is too small
            }
            else if (i > iMin && A[i-1] > B[j]) {
                iMax = i - 1; // i is too big
            }
            else { // i is perfect
                int maxLeft = 0;
                if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }
                else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }
                else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }
                if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }

                int minRight = 0;
                if (i == m) { minRight = B[j]; }
                else if (j == n) { minRight = A[i]; }
                else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }

                return (maxLeft + minRight) / 2.0;
            }
        }
        return 0.0;
    }
}

本人写的Go代码如下：

func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 {
	l1 := len(nums1)
	l2 := len(nums2)
	if l1 > l2 {
		nums1, nums2 = nums2, nums1
		l1, l2 = l2, l1
	}
	imin, imax := 0, l1
	halfLen := (l1+l2+1)/2
	var i int
	var j int
	for imin <= imax {
		i = (imax+imin)/2
		j = halfLen - i
		if (i<imax)&&(nums2[j-1]>nums1[i]) {
			imin = i + 1
		} else if (i>imin)&&(nums1[i-1]>nums2[j]) {
			imax = i -1
		} else {
			var maxLeft int
			if 0 == i {
				maxLeft = nums2[j-1]
			} else if 0 == j {
				maxLeft = nums1[i-1]
			} else {
				maxLeft = nums2[j-1]
				if nums1[i-1] > maxLeft {
					maxLeft = nums1[i-1]
				}
			}
			if (l1+l2)%2 == 1 {
				return float64(maxLeft)
			}
			var minRight int
			if l1 == i {
				minRight = nums2[j]
			} else if l2 == j {
				minRight = nums1[i]
			} else {
				minRight = nums2[j]
				if nums1[i] < minRight {
					minRight = nums1[i]
				}
			}
			return float64(maxLeft+minRight)/2.0
		}
	}
	return 0.0
}

总结：

勤思考

结语

不管怎么样好好加油。

CATALOG
    FEATURED TAGS
    Blog